วันศุกร์ที่ 20 กันยายน พ.ศ. 2556

พาย...มหัศจรรย์ของค่าพาย




พาย...มหัศจรรย์ของค่าพาย



pi เป็นอัตราส่วนที่รู้จักกันแพร่หลายมากที่สุด ในทางคณิตศาสตร์ pi เป็นอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งต่อความยาวของเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนั้น 

π  เป็นอัตราส่วนที่รู้จักกันแพร่หลายมากที่สุด ในทางคณิตศาสตร์ π เป็นอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งต่อความยาวของเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนั้น


 มหัศจรรย์ของค่าพาย..อยากให้นักเรียนหลาย ๆคนทำความรู้จัก

ความโดยย่อ
    จริง ๆ แล้ว เรื่องของ พาย (π) หาอ่าน/ศึกษาเพิ่มเติมได้ไม่ยากนัก พาย คือ การหาความยาวของเส้นรอบวงกลม มีสูตรเป็น 2πr หรือหาพื้นที่ของวงกลม ซึ่งมีสูตร πr2  เมื่อ r แทนความยาวของรัศมีวงกลมนักเรียนมักใช้ค่าประมาณ 22/7 หรือ 3.14 แทนค่าของ π ในสูตรที่กล่าวมานี้



เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
        π  เป็นอัตราส่วนที่รู้จักกันแพร่หลายมากที่สุด ในทางคณิตศาสตร์ π เป็นอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งต่อความยาวของเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนั้น
นั่นคือ      



                                             π (พาย)=   ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม
                                                      ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม


ความรู้เพิ่มเติม



  
    ค่าของ  พาย   จึงเข้ามาเกี่ยวข้องกับวิวัฒนาการความเจริญของมนุษย์โดยค่าที่ใช้ในยุคต่างๆ มีดังนี้
พายหรือไพ (อักษรกรีก: π) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละตินมีชื่อว่า "pi" (อ่านว่าพายในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่าพีในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่าค่าคงตัวของอาร์คิมิดีสหรือจำนวนของลูดอฟ

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมหรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังกำลังสองในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่น π คือจำนวนบวกxที่น้อยสุดที่ทำให้sin(x) = 0
คำจำกัดความของค่า Pi ในวิกิพีเดียภาษาไทย คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า พาย ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า พี ในภาษากรีก)บางครั้งเรียกว่า ค่าคงที่ของอาร์คิมิดีส หรือจำนวนของLudolph (อ่านเพิ่มเติมที่พาย (ค่าคงที่)หรือPi)
สูตรที่เกี่ยวข้อง......
π = ความยาวเส้นรอบวง / เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
   การหาค่า π ของวงกลมนั้นเราจะคิดจากพื้นที่ของวงกลมหารด้วยรัศมียกกำลังสอง (π = Acircle/r2) แต่เนื่องจากไม่รู้ค่าพื้นที่ของวงกลมดังนั้นเราจึงใช้ Monte Carlo method เข้ามาแก้ปัญหานี้ โดยใช้การ random ตำแหน่ง x, y แล้วตรวจสอบว่าอยู่ภายในวงกลมหรือไม่ หากอยู่ในวงกลมก็นับค่าไว้เมื่อจำนวนของการ random มากพอแล้วจะทำให้ได้ค่าของพื้นที่วงกลมแบบหยาบๆจากนั้นจะสามารถเอาไปหาค่าของ π ได้ 







  
เพื่อให้การคิดนั้นง่ายๆดังนั้นจึงแบ่งวงกลมออกเป็น 4 ส่วนแล้วเลือกคิดเพียง 1 ส่วน และกำหนดรัศมีให้มีค่า 1 หน่วย จากนั้นจะให้สุ่มค่าอันดับ x, y แล้วตรวจสอบว่าอยู่ภายในส่วนของวงกลมหรือไม่ หากอยู่จะให้นับจำนวนที่อยู่ไว้ซึ่งการตรวจสอบว่าอยู่ภายใต้ส่วนของวงกลมหรือไม่นั้นจะใช้ความรู้ Pythagorus ด้วยคือ z2 = x2+y2 หากค่า z นั้นมีค่าน้อยกว่ารัศมีที่กำหนด (ในที่นี้ r คือ 1 หน่วย)จะถือว่าอยู่ในส่วนของวงกลม 


   เมื่อทำการสุ่มค่าไปเรื่อยๆ จนได้จำนวนมากพอจากนั้นหาอัตราส่วนระหว่างจำนวนจุดสีแดงต่อจำนวนจุดทั้งหมดจะทำให้ได้พื้นที่ของส่วนของวงกลม เช่น จำนวนจุดที่ิอยู่ในส่วนของวงกลมคือ 784 หน่วย และจำนวนจุดทั้งหมดคือ 1000 หน่วย ดังนั้นพื้นที่ส่วนของวงกลมจะได้ค่า 0.784 หน่วย และเมื่อนำตัวเลขนี้ไปคูณด้วย 4 (เพราะแบ่งวงกลมออกเป็น 4 ส่วน) จะได้ค่าคือ 3.136 หน่วย ซึ่งค่าที่ได้นี้จะเป็นค่า π 

       ด้วยเนื่องจากการหาพื้นที่นั้นสามารถคิดจาก พื้นที่วงกลม = π*r2 โดยที่พื้นที่วงกลม = 3.136; r = 1 ดังนั้นค่า π จะมีค่าคือ 3.136 หน่วย (ค่า π จริงๆ คือ 3.14159 ซึ่งมีความคลาดเคลื่อนคือ 0.1779%) 
ตั้งแต่สมัยบาบิโลเนียประมาณ 950 ก่อนคริสตกาลนักคณิตศาสตร์สมัยนั้นให้ความสำคัญและสนใจค่าของ พาย   ซึ่งค่าของ พาย   นิยามจากอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

     ในยุคสมัยแรกใช้ค่า  พาย   ประมาณเท่ากับ  3    ชาวอียิปต์ใช้ค่า    พาย       มีค่าเท่ากับ    และใช้ค่า    พาย  จากการค้นพบแผ่น Papyrus ที่บันทึกวิชาคณิตศาสตร์สมัยอียิปต์ เมื่อราว 1650 ก่อนคริสตกาล กำหนดค่า พาย   ไว้เท่ากับ 4(8/9)2  =  3.16


อาร์คีมีดีสให้ค่า  พาย     มีค่าโดยประมาณ     223/71  <  พาย  <  22/7

ชื่อนักคณิตศาสตร์
ปีค.ศ.
ค่าที่ได้
พโธเลมี (Ptolemy)
c.150 AD
3.1416
ซู ซุง (Tsu Chung)
430 - 501 AD
55/113
Al Khwarizmi
คศ.800
3.1416
Al Kashi
คศ.1430
คำนวณได้ 14 ตำแหน่ง
Vite
1540 - 1603
คำนวณได้ 9 ตำแหน่ง
Roomen
1516 - 1615
คำนวณได้ 17 ตำแหน่ง
Van Ceulen
1600 
คำนวณได้ 35 ตำแหน่ง

การคำนวณค่าของ  พาย   มีส่วนเกี่ยวข้องกับวิชาเรขาคณิตและการคำนวณทางตรีโกณมิติอย่างมากเพราะเกี่ยวข้องกับเรื่องของมุม

ความรู้ทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม นิยมเขียน  พาย     ในรูปของอัตราส่วนที่มีจำนวนหลังของอัตราส่วนเป็น 1 และเรียกจำนวนแรกของอัตราส่วนนี้ว่าเป็นค่าของ   นักคณิตศาสตร์พบว่าค่าของ   เป็นค่าคงตัว ไม่ว่าจะหามาจากวงกลมที่มีขนาดเท่าใดก็ตาม และเมื่อเขียนค่าของ   เป็นทศนิยมแล้วจะไม่เป็นทศนิยมซ้ำ ทั้งได้มีการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถเขียนค่าของ   ในรูปเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม โดยตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์  

นักคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณใช้ค่าของ พาย  เป็นค่าคงตัวต่าง ๆ ที่ใกล้เคียงกับ 3 การคิดคำนวณทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันที่ใช้คอมพิวเตอร์เป็นเครื่องมือในการหาค่าของพาย     ทำให้สามารถคำนวณค่าของพาย   ได้ถูกต้อง เป็นทศนิยมมากกว่าสองพันล้านตำแหน่ง แล้วก็ยังพบว่าค่าที่ได้มายังไม่มีทศนิยมซ้ำกันเลย และยังสามารถจะคำนวณเป็นทศนิยมที่มีตำแหน่งเพิ่มขึ้นต่อไปอีกเรื่อย ๆ

อย่างไรก็ตามค่าประมาณของ พาย   ที่เรานิยมใช้ในการคำนวณ คือ  22/7 หรือ 3.14  ถือว่าเป็นค่าประมาณที่ใกล้เคียงกับค่าที่แท้จริงของ   ดีพอควรกับการนำไปใช้ได้สะดวก และง่ายต่อการจดจำ

หวังเป็นอย่างยิ่งว่าความรู้นี้คงจะใช้ได้เกิดประโยชน์ได้บ้างไม่มากก็น้อยในการเริ่มเรียนความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง  ในการใช้ค่า พาย   คำนวณ หาพื้นที่ แก้โจทย์ปัญหาต่าง ๆ อย่างมีความสุข



รายละเอียด: มีเนื้อหาเป็นบทเพลงเรื่องค่าของพาย ว่าพายมีค่าเท่าไหร่กันแน่ หรือสามารถเข้าไปดูเนื้อหา เรื่องพายได้ที่  http://primarymath.ipst.ac.th/index.php?option=com_content&view=article&id=82&Itemid=98



คำถามท้ายเรื่อง...
1. เราใช้ ค่าประมาณใกล้เคียงใดในการแทนค่า พายที่นิยมในปัจจุบัน
2. การหาความยาวเส้นรอบวงของวงกลมเราใช้สูตรใด
3. การหาพื้นที่วงกลม สูตรที่ใช้ในการคำนวณคือ?
4. ค่าพาย มีประโยชน์อย่างไร
5. ค่าพาย จะนำมาใช้เมื่อใด  อย่างไร

2 ความคิดเห็น: