จำนวนจริง
จำนวนจริง
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่
- เซตของจำนวนนับ/
เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I
- เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย I
I = {-1, -2, -3,…}
- เซตของจำนวนเต็ม
เขียนแทนด้วย I
I
= { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม และ b = 0
NOTE
จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ
1. จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,...
2. จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เช่น
3. จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.414 , -0.17 , 1.508
|
- เซตของจำนวนอตรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
=
1.4142135… มีค่าประมาณ 1.414
=
1.4422495… มีค่าประมาณ 1.442
=
-0.8660254… มีค่าประมาณ -0.866
=
3.14159265… มีค่าประมาณ 3.1416
NOTE
ยูเนียรของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเรียกว่า “ เซตของจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ R
จำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ได้จากการแก้สมการ x = -1 ซึ่งบอกไม่ได้ว่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ จำนวนพวกนี้ไม่ใช่จำนวนจริง
ยูเนียรของเซตของจำนวและเซตจำนวนจริงชนิดใหม่เรียกว่า “เซตจำนวนเชิงซ้อน”
|
สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
1) สมบัติของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง
เมื่อ a, b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) สมบัติการสะท้อน a = a
(2) สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้ว b
= c
(3) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = a และb =
c แล้ว a = c
(4) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว a+c = b+ c
(5) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว ac
= bc
2)
สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง
ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
สมบัติ
|
การบวก
|
การคูณ
|
ปิด
|
a+b € R
|
ab € R
|
การสลับที่
|
a+ b = b+a
|
ab = ba
|
การเปลี่ยนหมู่
|
(a+b)+c = a+(b+c)
|
(ab)= a(bc)
|
การมีเอกลักษณ์
|
มีจำวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0
|
มีจำนวนจ1 a = a= a 1 ริงซึ่ง 1
ซึ่ง
|
|
เรียก 0ว่าเอกลักษณ์
|
เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์
|
การมีอินเวอร์ส
|
สำหรับจำนวนจริง aจะมีจำนวนจริง –a โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของ a
|
เรียก 1
ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริง a ที่ a 0
จะมีจำนวนจริง a โดยที่ a
a = 1 =
a a เรียก a ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริงa
|
การแจกแจง
|
A(a+b) = ab+ac
|
|
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว : พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax
+ bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
- การแยกตัวประกอบของ x
+bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)
เช่น จงแยกตัวประกอบของ x
+7x + 12
จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
ซึ่งก็คือ 5 และ 2
จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7
ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)
NOTE
ในกรณ๊ทั่วไป x – a = (x-a)(x+a) เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0
|
- การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax
+bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ a ≠0 ,c ≠ 0
เช่น
4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1)
หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x)
เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x )หรือ(4x )(x )
2.)หาจำนวน
2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1)
เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1) (4x-1)(x-1)
3)หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ
2 ) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x จะได้
จากผลคูณ ( 2x -1 )( 2x-1) ได้พจน์กลางเท่ากับ -4x
ดังนั้น พหุนาม 4x -4x-1 = (2x-1)(2x-1)=(2x-1)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
เช่น
x+2ax+4
= (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4
= (x-2)(x-2) = (x-2)
ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x-2ax+a
= (x-a)
x+6x+9
= (x+3)
x-2ax+a
= (x-2)
x-8x+16
= (x-4)
- การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
X+2x-5 = ( x+2x)-5
= (x+2x+1)-5-1
= (x+1) -6
ดั้งนั้น x+2x-5 = (x+1)-6
จาก x-a = (x-a)(x+a)
จะได้
(x+1)-6 = ((x+1)- 6 )((x+1)+ 6 )
การแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c
= 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว
และ a = 0ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง
ดังนี้
“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab =
0 แล้ว a = 0”
การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
-การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ แยกตัวประกอบของ x-4x+3
จะได้ (x-3)(x-1)
หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) =
0
โดยหา x ที่ทำให้ x-3 =
0 หรือ x-1= 0
นั่นคือ x=
0 หรือ x= 1
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x ด้วย 1 จะได้
(1)-4 (1)+3 =
0 ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้
(3)-4(3)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0
- การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
เมื่อ a = 0 และ b
-4ac ≥0
|
NOTE
สมการกำลังสอง ax +bx+c = 0 เมื่อ a
b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0
มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
2 คำตอบ เมื่อ b
-4ac 0
มีคำตอบที่เป็นจำนวน
1 คำตอบ เมื่อ b -4ac = 0
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เมื่อ b -4ac 0
|
