ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ : เขียนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่  a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ  b เป็นสมาชิกตัวคู่หลัง คู่อันดับสองคู่อันดับใดๆ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของทั้งสองคู่อันดับนี้เท่านั้น

(a, b) = (c,d) เมื่อ a= c และ  b = d

ผลคูณคาร์ทีเซียน : ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A x  B  หมายถึง เซตของคู่อันดับ (X , Y )  ทั้งหมด โดยที่  X   เป็นสมาชิกเซต A และY เป็นสมาชิกของเซต B

เช่น   A= { 1,2}  และ B= {3, 4}

        A x B = {(3,1 ), (1,4 ), (2,3), (2,4)}

        B x A = {(3,1 ),(3,2) ,(4,1) ,(4,2)}

จากตัวอย่าง จะเห็นว่า A x B =  B x A

ความสัมพันธ์:  สับเซตของผลคูณคาร์เซียนของเซต  A   และเซต B  ถ้าแทนเซตของความสัมพันธ์ด้วย r

	r  €  A x   B  แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก  A  ไป  B r  €   A  x   B  แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์ใน  A

เช่น  A = {1,3} และ B = {2,4,6}

A x B = {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,2) , (3,4) , (3,6)}

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์  “น้อยกว่า” จาก A ไป B

จะได้ว่า r = {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,4) , (3,6)}

หรือ r = {(x , y) € A x B | x < y  }

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ 
บทนิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์

       โดเมน r : เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D

        เรนจ์ของ r : เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R

เขียน D และ R ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ได้ดังนี้

D  =  {x | (x , y) € r }

R  =  {y | (x , y) € r }

ถ้า r = {(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6)

หรือ r = {(x,y)}€ A×B | x< y}           

D = {x|(x,y) € r}

R = {y|(x,y) € r}

ถ้า r = {(a,1),(b,3),(c,5)}

จะได้ว่า D = {a,b,c}   R = {1,3,5}

      

ตัวผกผันของความสัมพันธ์

บทนิยาม        ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของ สมาชิกตัวหน้า  และสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r       ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย  r

เขียน r  ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข    ได้ดังนี้

รายละเอียด: เป็นเนื้อหาที่แสดงเป็นการสอนในห้องเรียน เรื่องฟังก์ชั่น

ที่มา : https://sites.google.com/site/khnitsastrm4/bth-thi-5khwam-samphanth-laea-fangkchan   15 ก.ย. 2556

เซตเบื้องต้น

เซตเบื้องต้น

เซต  เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

       เซตสระในภาษาอังกฤษ  หมายถึง  กลุ่มของอังกฤษ  a, e, i, o และ u

       เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง  กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

        สิ่งที่ในเชตเรียกว่า  สมาชิก  ( element หรือ members )

การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2  แบบ

   1 การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก  เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น

        เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}

        เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข  ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น

        {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

        {x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่

         ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น

        { 1,2,3,...,10 }  สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

        { วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต 

สัญลักษณ์แทนเซต 

ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น

        A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “ € ”  แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน  เช่น

A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า  1   เป็นสมาชิกของ  A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  1  €A

               3   เป็นสมาชิกของ  A  หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  3€ A

คำว่า “ไม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน”  เขียนด้วยสํญลักษณ์  “ € ”  เช่น

               5  ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A

               7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย  7€A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

ตัวอย่างที่ 1   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

                    1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

                    2.ซตของจำนวนเมลบ

                    3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ           1.ให้  A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

                    A = {  สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }

                    2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

                    B = {-1,-2,-3,…}

                    3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

                    C = {ก,ข,ค,…,ฮ} 

ตัวอย่างที่ 2   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

                     1. A = {2,4,6,8,10}

                     2. B = {1,3,5,7}

วิธีทำ            1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

                     2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตว่าง

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไพ (phi))

ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

         A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด

คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

         A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11

         B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) =  4

         C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์

คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

         A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

         B = {x| x 3,7,11,15,…}

         C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1.            เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2.            การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

       3.   เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้      

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...}

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่  1    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}

                       ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

คัวอย่างที่  2   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

     วิธีทำ      A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

                   จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

                    แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

รายละเอียด: มีเนื้อหาบรรยายลักษณะของเซต ว่าเซตมีคุณลักษณะใดบ้าง

ที่มา: https://sites.google.com/site/khnitsastrm4/bth-thi-2-set  15 ก.ย. 2556

พาย...มหัศจรรย์ของค่าพาย

สมบัติของจำนวนเต็ม (Properties of integers)

สมบัติของจำนวนเต็ม (Properties of integers)

สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก (Commutative property of addition)
สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ (Commutative property of multiplication)
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก (Associative property of addition)
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการคูณ (Associative property of multiplication)
สมบัติการแจกแจง (Distributive property)

สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก

จำนวนสองจำนวนที่นำมาบวกกัน สามารถสลับที่กันได้ โดยที่ผลบวกยังคงเท่าเดิม

A + B         =       B + A

7 + 10        =       10 + 7

-2 + 4        =       4 + (-2)

สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ

จำนวนสองจำนวนที่นำมาคูณกัน สลับที่กันได้ โดยที่ผลคูณยังคงเท่าเดิม

A × B         =       B × A

8 × 9          =       9 × 8

(-4) × 5      =       5 × (-4)

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก

จำนวนสามจำนวนที่นำมาบวกกัน จะบวกจำนวนที่หนึ่งกับจำนวนที่สอง หรือบวกจำนวนที่สองกับจำนวนที่สามก่อนก็ได้ แล้วจึงบวกจำนวนที่เหลือ ผลบวกย่อมเท่ากัน

         (A + B) + C         =       A + (B + C)

(2 + 4) + 3           =       2 + (4 + 3)

(-2 + 3) + 1         =       -2 + (3 + 1)

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการคูณ

ถ้าเรานำจำนวนสามจำนวนมาคูณกัน โดยคูณจำนวนที่หนึ่งกับจำนวนที่สอง หรือคูณจำนวนที่สองกับจำนวนที่สาม แล้วจึงคูณกับจำนวนที่เหลือ ผลคูณที่ได้ย่อมเท่ากัน

(A × B) × C         =       A × (B × C)

(2 × 4) × 6           =       2 × (4 × 6)

(-2 × 4) × 3         =       -2 × (4 × 3)

สมบัติการแจกแจง

ผลคูณของจำนวนที่หนึ่งกับผลบวกของจำนวนที่สองและจำนวนที่สาม ได้ผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของจำนวนที่หนึ่งกับจำนวนที่สอง บวกกับผลคูณของจำนวนที่หนึ่งกับจำนวนที่สาม

A × (B + C)         =       (A × B) + (A × C)

5 × (6 + 3)           =       (5 × 6) + (5 × 3)

-2 × (4 + 1)         =       (-2 × 4) + (-2 × 1)

หรือ

       (B + C) × A         =       (B × A) + (C × A)

(6 + 3) × 5           =       (6 × 5) + (3 × 5)

(4 + 1) × -2         =       (4 × -2) + (1 × -2)

หรือ

A × (B - C)          =       (A × B) - (A × C)

2 × (3 - 1)            =       (2 × 3) - (2 × 1)

-2 × (4 + 3)         =       (-2 × 4) + (-2 × 3)

การลบไม่มีสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

9 – 3           ≠       3 – 9

9 – (3 - 2)  ≠   (9 – 3) – 2 

การหารไม่มีสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

  14 ÷ 2        ≠       2 ÷ 12
   24 ÷ (4 ÷ 2)        ≠       (24 ÷ 2) ÷ 2

รายละเอียด: เป็นเนื้อหาเรื่องสมบัติของจำนวนเต็มทั้ง 11 ข้อ

ที่มา: http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=2486 2 ก.ย. 2556

http://www.ichat.in.th/archaraschool/topic-readid89617-page1 2 ก.ย. 2556